---
title: "Statistik 1"
subtitle: "Formelsammlung"
format: html
---

## Deskriptive Statistik und Häufigkeiten

|Formel||Beschreibung|
|---------|--|--------|
|$${h}_{j}=\frac{{n}_{j}}{n}$$||Relative Häufigkeit|
|$$\begin{align}&j = \lfloor (n-1)*p + 1 \rfloor\\&g = (n-1)*p + 1 - j\\&(1-g)*x_j + g*x_{j+1}\end{align}$$||Quantil|
|$$\overline{x}=\hat{\mu}=\frac{{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}}}{n}$$||Mittelwert|
|$${s}_{x}^2=\hat{\sigma}^2_{x}=\frac{{\sum_{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline{x})^2}}}{n-1}$$||Varianz|
|$${s}_{x}=\hat{\sigma}_{x}=\sqrt{{s}_{x}^2}$$||Standardabweichung|
|$${\hat \sigma}_{\overline x}=\frac{\hat \sigma}{\sqrt{n}}$$||(geschätzter) Standardfehler des Mittelwerts|
|$${\hat \sigma}_{\tilde x}=\sqrt\frac{\pi}{2n}\hat \sigma$$||(geschätzter) Standardfehler des Medians|
|$${\hat \sigma}_{\hat\sigma^2}=\hat \sigma^2\sqrt{\frac{2}{n-1}}$$||(geschätzter) Standardfehler der Varianz|
|$$H=-\frac{1}{\ln k}*\sum_{j=1}^{k}{{h}_{j}*\ln {h}_{j}}$$||Relativer Informationsgehalt|
|$$R={x}_{max}-{x}_{min}$$||Spannweite, Range|
|$$IQA=IQR={Q}_{3}-{Q}_{1}$$||Interquartilsabstand, Interquartilsrange|
|$$g=\frac{1}{n}*\sum_{i=1}^{n}{(\frac{{x}_{i}-\overline{x}}{{s}_{x}})^3}$$||Schiefe|
|$$\begin{align}&w=\frac{1}{n}*\sum_{i=1}^{n}{(\frac{{x}_{i}-\overline{x}}{{s}_{x}})^4}\\&Exzess=w-3\end{align}$$||Kurtosis, Wölbung|

## Wahrscheinlichkeit

|Formel||Beschreibung|
|---------|--|--------|
|$$p(A)= \frac{{n}_{A}}{{n}_{\Omega}}$$||Wahrscheinlichkeit Laplace-Experiment|
|$$p(A\cap B)=p(A|B)*p(B)=p(B|A)*p(A)$$||Multiplikationstheorem für abhängige Ereignisse|
|$$p(A\cap B)=p(A)*p(B)$$||Multiplikationstheorem für unabhängige Ereignisse|
|$$p(A|B)=\frac{p(B|A)*p(A)}{p(B)}$$||Satz von Bayes|

## Verteilungen
|Formel||Beschreibung|
|---------|--|--------|
|$$\begin{align}X& \sim \mathcal{B}(n,\pi)\\f_{x,n,\pi}&=p(X=x)=\binom{n}{x}*\pi^{x}*(1-\pi)^{n-x}\\F_{x,n,\pi}&=p(X\le x)=\sum_{i=0}^{x}{p(X=x_i)}\end{align}$$||Binomialverteilung|
|$$\begin{align}X& \sim \mathcal{Pois}(\lambda)\\f_{x,\lambda}&=p(X=x)=\frac{{\lambda}^{x}}{x!}*{e}^{-\lambda}\\F_{x,\lambda}&=p(X\le x)=\sum_{i=0}^{x}{p(X=x_i)}\end{align}$$||Poissonverteilung|
|$$\begin{align}X& \sim \mathcal{Exp}(\lambda)\\f_{x,\lambda}&=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\ge 0\\F_{x,\lambda}&=p(X\le x)=1-e^{-\lambda x}\end{align}$$||Exponentialverteilung|
|$$\begin{align}X& \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\\f_{x,\mu,\sigma^2}&=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\\F_{x,\mu,\sigma^2}&=p(X\le x)=\int_{-\infty}^{x}f_{x,\mu,\sigma^2}(t)\,\mathrm{d}t\end{align}$$||Normalverteilung|
|$$\begin{align}X& \sim t(df)\\f_{df} &=  \frac{\Gamma\left(\frac{df+1}{2}\right)} {\sqrt{df\pi}~\Gamma\left(\frac{df}{2}\right)}\left(1+\frac{x^{2}}{df}\right)^{-\frac{df+1}{2}}\\F_{df}&=p(X\le x)=\int_{-\infty}^{x}f_{df}(t)\,\mathrm{d}t\end{align}$$||$t$-Verteilung|
|$$\begin{align}X& \sim \chi^2(df)\\f_{df} &=  \frac{1}{2^{\frac{df}{2}}\Gamma(\tfrac{df}{2})} x^{\frac{df}{2}-1}\exp(-\frac {x}{2})\\F_{df}&=p(X\le x)=\int_{0}^{x}f_{df}(t)\,\mathrm{d}t\end{align}$$||$\chi^2$-Verteilung|

## Konfidenzintervalle und Signifikanztests
|Formel||Beschreibung|
|---------|--|--------|
|$$\begin{align}&KI=(-\infty,\bar x +z_{1-\alpha}*{\hat \sigma}_{\bar x}]\\&KI=[\bar x -z_{1-\frac{\alpha}{2}}*{\hat \sigma}_{\bar x},\bar x +z_{1-\frac{\alpha}{2}}*{\hat \sigma}_{\bar x}]\\&KI=[\bar x -z_{1-\alpha}*{\hat \sigma}_{\bar x},\infty)\end{align}$$||Konfidenzintervall des Mittelwerts (auf Normalverteilung basierend|
|$$\begin{align}t_{emp}&=\frac{\bar x - \mu_0}{\hat\sigma_{\bar X}}\\df&=n-1\end{align}$$||Einstichproben-$t$-Test|