Statistik 5

Übung 6

Einleitung und Ziele der Übung

Herzlich Willkommen zur Übung Statistik 5. In dieser Übung wollen wir einfache Poweranalysen mit G*Power und in R mit Package pwr lösen.

Agenda

• Installation/Vorbereitung
• Poweranalysen (Software-analytisch)
• Funktionen schreiben

1. Installation/Vorbereitung - Einführung

Bitte führen Sie folgende Schritte durch:

1. Installieren Sie das Package pwr in R und laden Sie es.
2. Installieren Sie G*Power über folgenden Link Website G*Power

2. Poweranalysen - Einführung

Auf den nächsten Seiten finden Sie der Reihe nach Aufgaben zur Poweranalyse mit G*und R. Diese sind (grob) der Schwierigkeit nach geordnet. Bitte versuchen Sie jede Aufgabe mit beiden Möglichkeiten zu lösen.

2. Poweranalysen - Übung 1 (sehr leicht)

Bestimmen Sie die Stichprobengrösse für einen Einstichproben t-Test:

• ungerichtet
• \(\alpha = .01\)
• \(\beta = .10\)
• \(d = .25\)
• \(n =\space\)

2. Poweranalysen - Übung 2 (leicht)

Bestimmen Sie die notwendige Effektgrösse (3 NKS, Werte zwischen 0 und 1) für eine einfaktorielle Varianzanalyse (ohne Messwiederholung).

• \(\alpha = .05\)
• \(Faktorstufen = 7\)
• \(Teststaerke = .85\)
• \(n_{Gesamt} = 280\)
• \(f =\space\)

2. Poweranalysen - Übung 3 (mittel)

Eine Geschäftsfrau möchte einen neuen Imbiss im Quartier eröffnen. Um zu erfahren, welches Fastfood am besten funktioniert, befragt Sie 100 Personen, nach Ihrer Präferenz (Anzahl Antworten in Klammern):

• Pizza (33)
• Döner (20)
• Burger (15)
• Schnitzel mit Pommes (10)
• Salat (22)

Ihre ursprüngliche Hypothese war, dass alles gleich beliebt ist. Wie gross war Ihr Signifikanzniveau, wenn Sie eine Teststärke von .70 erzielt haben? Um die Effektstärke \(\omega\) (0-1, 3NKS) zu ermitteln nutzen Sie bitte beide der möglichen Wege: G*Power und die folgende Formel:

• \(\omega=\sqrt{\sum\frac{(p_{beob}-p_{erw})^2}{p_{erw}}}=\space\)
• \(df=k-1=\space\)
• \(\alpha=\space\)

2. Poweranalysen - Übung 4 (mittel)

Bestimmen Sie die Teststärke (3 NKS, Werte zwischen 0 und 1) für einen Interaktionsterm einer reinen Messwiederholungs-Anova, diesmal nur mit G*Power. Gehen Sie von perfekter Sphärizität aus

• \(\alpha = .05\)
• \(n = 50\)
• \(f = .10\)
• \(Design = 2x5\)
• \(\overline r = .75\)
• \(Teststaerke =\space\)

3. Funktionen schreiben - Einführung

Jetzt wollen wir noch eine Übungsweise eine Gruppe von Funktionen schreiben. Das Ziel ist Unser Beispiel 3 aus der Vorlesung zum Bootstrap als (mehrere Funktionen) umzusetzen.

3. Funktionen schreiben - Übung 1 (leicht)

Schreiben Sie eine Funktion tStat_AS mit den zwei Argumenten T1 und T2. Die Funktion soll einen t-Wert für einen Mittelwertsvergleich zweier abhängiger Stichproben ermitteln.

• Orientieren Sie sich am Codebeispiel der Vorlesung zum Bootstrap
• T1 soll die Werte der ersten Stichprobe übergeben bekommen (also ein Vektor)
• T2 soll die Werte der zweiten Stichprobe übergeben bekommen (also ebenfalls ein Vektor)
• Nutzen Sie length() um die Stichprobengrösse zu ermitteln
• Nutzen Sie zusätzlich die Befehle mean(), sd() und sqrt() aber nicht t.test()
• Sie dürfen davon ausgehen, dass keine fehlenden Werte vorhanden sind
• Der Rückgabewert soll der Wert der t-Statistik sein
• Testen Sie Ihre Funktion mit folgenden Werten :

Gruppe1 <- c(15,14,13,17) 
Gruppe2 <- c(10,8,9,15)
# Ergebnis sollte 4.97709 sein

3. Funktionen schreiben - Übung 2 (leicht-mittel)

Erweitern Sie Ihre Funktion tStat_AS mit einem dritten Argument Boot:

• Boot erhält entweder den Wert “ja” oder “nein”
• bei “nein” funktioniert eigentlich alles wie gehabt
• bei “ja”
  • Bestimmen Sie zunächst die Personen, die in der Bootstrap-Stichprobe enthalten sein sollen (N Mal Ziehen mit Zurücklegen aus 1:N)
  • Denken Sie daran: Sie müssen die Personen der Bootstrap-Stichprobe von T1 und T2 nur 1x bestimmen, es sind die gleichen Personen in der gleichen Reihenfolge für beide Zeitpunkte
  • Ersetzen Sie die Werte von T1 und T2 mit den Werten von T1 und T2 für die ermittelten Personen
  • Danach so weiter wie immer (Sie brauchen also am restlichen Code nichts ändern!)
• Testen Sie Ihre Funktion mit folgenden Werten (Vergessen Sie nicht den Code vorher nochmals auszuführen:

Gruppe1 <- c(15,14,13,17) 
Gruppe2 <- c(10,8,9,15)
set.seed(123)
#1x mit "nein" sollte 4.97709 sein
#2x mit "ja" sollte das 1. Mal 9 sein und das zweite Mal 11 ergeben

3. Funktionen schreiben - Übung 3 (leicht)

Schreiben Sie eine neue Funktion tStat_AS_Boot mit den Argumenten T1,T2 und Bootstraps

• T1 und T2 sind genauso wie zuvor
• Bootstraps enthält die Anzahl an Bootstraps
• Die Funktion soll der Reihe nach folgendes tun:
  • Die vorherige Funktion aufrufen um den originalen t-Wert zu bestimmen und in t_Orig zu speichern
  • replicate() mit folgenden Argumenten ausführen und das Ergebnis in t_Verteilung speichern:
    • Bootstraps
    • unsere vorherige Funktion mit Boot = “ja”
  • t_Verteilung zurückgeben
• Testen Sie Ihre Funktion mit folgenden Werten:

Gruppe1 <- c(15,14,13,17) 
Gruppe2 <- c(10,8,9,15)
Wiederholungen <- 5000
set.seed(234) 
# erste 4 Werte sollten 10.966892  5.018570  4.333333  8.660254 sein

3. Funktionen schreiben - Übung 4 (leicht)

Bevor wir die Signifikanzprüfung in unsere Funktion einbauen, wollen wir uns die Signifikanzprüfung per Konfidenzintervall “analog” überlegen.

• Bei einer ungerichteten Hypothese für Mittelwertsunterschiede (Bootstrap) muss
  • welche Grenze bestimmt werden? untereoberebeide
  • das Signifikanzniveau halbiert werdennicht halbiert werden
  • ist das Ergebnis signifikant, wenn 0 unter der u. Grenzeüber der u. Grenzeunter der o. Grenzeüber der o. Grenzeunter der u. Grenze oder über der o. Grenzeüber der u. Grenze oder unter der o. Grenze liegt
• Bei einer gerichten Hypothese (T1 kleinere Werte) für Mittelwertsunterschiede (Bootstrap) muss
  • welche Grenze bestimmt werden? untereoberebeide
  • das Signifikanzniveau halbiert werdennicht halbiert werden
  • ist das Ergebnis signifikant, wenn 0 unter der u. Grenzeüber der u. Grenzeunter der o. Grenzeüber der o. Grenzeunter der u. Grenze oder über der o. Grenzeüber der u. Grenze oder unter der o. Grenze liegt
• Bei einer ungerichteten Hypothese (T1 grössere Werte) für Mittelwertsunterschiede (Bootstrap) muss
  • welche Grenze bestimmt werden? untereoberebeide
  • das Signifikanzniveau halbiert werdennicht halbiert werden
  • ist das Ergebnis signifikant, wenn 0 unter der u. Grenzeüber der u. Grenzeunter der o. Grenzeüber der o. Grenzeunter der u. Grenze oder über der o. Grenzeüber der u. Grenze oder unter der o. Grenze liegt

4. Funktionen schreiben - Übung 5 (mittel)

Erweitern Sie die Funktion tStat_AS_Boot um zwei weitere Argumente Gerichtet und Alpha

• Gerichtet erhält enweder den Wert “u” (ungerichtet), “k” (kleiner) oder “g” (grösser)
• Alpha sei unser Signifikanzniveau (Wert zwischen 0 und 1)
• Passen Sie Ihren Code zusätzlich wie folgt an:
  • Entfernen Sie die Rückgabe der t_Verteilung
  • Bestimmen Sie, ob Ihre t-Statistik signifikant ist:
    • Wenn Gerichtet = “u” ist, gibt es zwei Grenzen und 0 muss kleiner als die untere Grenze oder grösser als die obere Grenze sein
    • Wenn Gerichtet = “k” ist, gibt es nur eine obere Grenze
    • Wenn Gerichtet = “g” ist, gibt es nur eine untere Grenze
    • Die Grenze(n) können Sie mit quantile(), Ihrer t_Verteilung-Variable und Alpha bestimmen
    • Verwenden Sie bei quantile() als drittes Argument bitte jeweils na.rm = TRUE
    • Geben Sie FALSE für nicht signifikant oder TRUE für signifikant zurück (ohne Anführungszeichen).
• Die Testwerte finden Sie auf der nächsten Seite

4. Funktionen schreiben - Übung 6

Fasst geschafft, testen Sie Ihre Funktion mit folgenden Werten (andere Werte!):

G1 <- c(14,12,11,13) 
G2 <- c(12,11,12,13)
Wiederholungen <- 5000
Signifikanzniveau = .3
set.seed(234) 
# 3 Tests der Reihe nach 
# ungerichtet (nicht signifikant --> FALSE)
# gerichtet kleiner (nicht signifikant --> FALSE)
# gerichtet grösser (signifikant --> TRUE)